从环面上的凝聚随机游走到金曼凝聚过程

设 $\mathbb{T}^d_N$（$d\ge 2$）为具有 $N^d$ 个点的离散 $d$ 维环面。在 $\mathbb{T}^d_N$ 的每个格点上放置一个粒子，并让它们作为独立的、最近邻的、对称的连续时间随机游动演化。每当两个粒子相遇时，它们凝聚为一个。记 $C_N$ 为粒子集合缩减为单例的首达时间。Cox [6] 证明了存在时间尺度 $\theta_N$，使得 $C_N/\theta_N$ 收敛于独立指数随机变量之和。记 $Z^N_t$ 为时刻 $t$ 的粒子总数。我们证明马尔可夫链序列 $(Z^N_{t\theta_N})_{t\ge 0}$ 收敛于金曼凝聚过程中的划分总数。