受限势中布朗粒子的冻结相变

我们研究有限域中受外势 $v(x)$ 作用的一维布朗粒子到达吸收靶的平均首次通过时间（MFPT）。我们关注外势为约束型、形式为 $v(x)=k|x-x_0|^n/n$ 且粒子初始位置与 $x_0$ 重合的情形。首先考虑位于 $x=0$ 处吸收靶与 $x=c$ 处反射壁之间的粒子。在固定 $x_0$ 时，我们证明当靶距离 $c$ 超过临界值时，存在一个非零的最优刚度 $k_{\rm opt}$ 使得到达靶的 MFPT 最小；而当 $c$ 低于临界值时，最优刚度 $k_{\rm opt}$ 为零。因此，对任意 $n$，最优势刚度随域尺寸变化经历连续的“冻结”相变。另一方面，当反射壁被第二个吸收靶取代时，$k_{\rm opt}$ 中的冻结相变变为不连续。$(x_0,n)$ 平面上的相图随之呈现三个动力学相及亚稳态，并在 $(x_0/c\simeq 0.17185$, $n\simeq 0.39539)$ 处有一个“三相”点。对于调和或更高阶势 $(n\ge 2)$，在任何 $x_0$ 或域尺寸下，MFPT 总在小 $k$ 时随 $k$ 增大。这些结果有别于有界域中带最优重置的扩散问题。