有球对称边界域中扩散粒子在随机重置下的首次 Passage 性质

我们研究了一个在具有吸收球面的 $d$ 维球内自由扩散的布朗粒子在随机重置下的首次 Passage 性质。我们推导出吸收平均时间（MTA）作为重置率 $\gamma$ 和粒子到球心初始距离 $r$ 的函数。我们发现当 $r>r_c$ 时，存在一个非零的最优重置率 $\gamma_{{\rm opt}}$ 使MTA最小，其中 $r_c=\sqrt {d/\left( {d + 4} \right)} R$，$R$ 为球半径。随着 $r$ 增大，$\gamma_{{\rm opt}}$ 在 $r=r_c$ 处从零到非零呈现连续相变。此外，我们考虑粒子位于两个二维或三维同心球之间，并得到重置加速MTA的区域为 $(R_1, r_{c_1}) \cup (r_{c_2},R_2)$，其中 $R_1$ 和 $R_2$ 分别为内球和外球半径。有趣的是，当 $R_1/R_2$ 小于临界值时，$\gamma_{{\rm opt}}$ 在 $r=r_{c_1}$ 处呈现不连续相变；否则该相变为连续。然而在 $r=r_{c_2}$ 处，$\gamma_{{\rm opt}}$ 总是呈现连续相变。