随机变量幂的自由无穷可分性

我们证明在以下情形下 $X^r$ 服从 FID 分布：(1) $X$ 服从在 0 处无原子的自由 Poisson 分布且 $r\in(-\infty,0]\cup[1,\infty)$；(2) $X$ 服从在 0 处有原子的自由 Poisson 分布且 $r\geq1$；(3) $X$ 服从某些 HCM 分布的混合且 $|r|\geq1$；(4) $X$ 服从某些 beta 分布且 $r$ 取自某区间。特别地，如果 $S$ 是标准半圆元，则当 $r\in(-\infty,0]\cup[2,\infty)$ 时 $|S|^r$ 是自由无穷可分的。我们还考虑了上述概率测度的对称化，特别地证明了当 $r\geq2$ 时 $|S|^r \,\text{sign}(S)$ 是自由无穷可分的。因此，对于每个 $n\in\mathbb N$，$S^n$ 都是自由无穷可分的。关于自由 Poisson 和半圆随机变量的结果与 gamma 及正态随机变量幂的经典无穷可分性质有很好的对应。