1+1维随机环境中定向聚合物在高温下的自由能

我们考虑1+1维随机环境中定向聚合物的自由能F(β)。已知当β→0时，F(β)的量级为-β^4。在本文中，我们将证明在势的特定条件下，\n\begin{align*} \lim_{\beta\to 0}\frac{F(\beta)}{\beta^4}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}P_{\mathcal{Z}}\left[\log \mathcal{Z}_{\sqrt{2}}(T)\right] =-\frac{1}{6}, \end{align*}\n其中{\mathcal{Z}_\beta(t,x):t\geq 0,x\in\mathbb{R}}是随机热方程\n\begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}\mathcal{Z}=\frac{1}{2}\Delta \mathcal{Z}+\beta \mathcal{Z}{\dot{\mathcal W}},\ \ \lim_{t\to 0}\mathcal{Z}(t,x)dx=\delta_{0}(dx), \end{align*}\n的唯一温和解，这里\mathcal{W}是时空白噪声，且\n\begin{align*} \mathcal{Z}_\beta(t)=\int_\mathbb{R}\mathcal{Z}_\beta(t,x)dx. \end{align*}