从余代数视角看自由代数函子

给定一组方程 $\Sigma$，自由代数函子 $F_{\Sigma}$ 将每个变量集 $X$ 关联到 $X$ 上的自由代数 $F_{\Sigma}(X)$。推广由Dent、Kearnes和Szendrei最初定义的任意方程集 $\Sigma$ 的\emph{导数} $\Sigma'$ 概念，我们证明 $F_\Sigma$ 保持原像当且仅当 $\Sigma \vdash \Sigma'$，即 $\Sigma$ 导出其导数 $\Sigma'$。若 $F_\Sigma$ 弱保持核偶，则每个方程 $p(x,x,y)=q(x,y,y)$ 产生一项 $s(x,y,z,u)$ 使得 $p(x,y,z)=s(x,y,z,z)$ 且 $q(x,y,z)=s(x,x,y,z)$。此时n-可置换簇必已为可置换的，即Mal'cev簇。反之，若 $\Sigma$ 定义一个Mal'cev簇，则 $F_\Sigma$ 弱保持核偶。作为工具，我们证明任意 $Set-$自函子 $F$ 弱保持核偶当且仅当其弱保持满态射的拉回。