变指数 Besov 与 Triebel-Lizorkin 空间的 Franke-Jawerth 嵌入

经典的 Jawerth 和 Franke 嵌入 $$F^{s_0}_{p_0,q}({\mathbb R}^n)\hookrightarrow B^{s_1}_{p_1,p_0}({\mathbb R}^n) \quad \mbox{and} \quad B^{s_0}_{p_0,p_1}({\mathbb R}^n)\hookrightarrow F^{s_1}_{p_1,q}({\mathbb R}^n)$$ 是 Besov 和 Triebel-Lizorkin 函数空间阶中 Sobolev 嵌入的版本，满足 $s_0>s_1$ 且 $$s_0-\frac{n}{p_0} = s_1-\frac{n}{p_1}.$$ 我们证明了所有指数均可变的 Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间阶的 Jawerth 和 Franke 嵌入 $$F^{s_0(\cdot)}_{p_0(\cdot),q(\cdot)}\hookrightarrow B^{s_1(\cdot)}_{p_1(\cdot),p_0(\cdot)} \quad \mbox{and} \quad B^{s_0(\cdot)}_{p_0(\cdot),p_1(\cdot)}\hookrightarrow F^{s_1(\cdot)}_{p_1(\cdot),q(\cdot)},$$ 分别在 $\inf_{x\in\mathbb{R}^n}(s_0(x)-s_1(x))>0$ 且 $$s_0(x) -\frac{n}{p_0(x)} = s_1(x) -\frac{n}{p_1(x)}, \quad x \in {\mathbb R}^n.$$ 的条件下成立。我们专门处理相关的序列空间 $b^{s(\cdot)}_{p(\cdot),q(\cdot)}$ 和 $f^{s(\cdot)}_{p(\cdot),q(\cdot)}$，这由众所周知的分解技术所证明。我们还给出了常数指数情形下 Franke 嵌入的一个不同证明，该证明避免了二择性论证和插值。我们的结果同样适用于 2-微局部函数空间 $B^{\mathbf{w}}_{p(\cdot),q(\cdot)}({\mathbb R}^n)$ 和 $F^{\mathbf{w}}_{p(\cdot),q(\cdot)}({\mathbb R}^n)$，这些空间统一了变光滑度空间的平滑阶与广义光滑度空间。