Fraenkel 分拆与 Brown 分解

将序列 $([ (n-x') / x ])_{n=1}^\infty$ 记作 $B(x, x')$，即所谓的 Beatty 序列。Fraenkel 分拆定理给出了 $B(x, x')$ 与 $B(y, y')$ 平铺正整数集的充要条件，亦即 $B(x, x') \cap B(y, y') = \emptyset$ 且 $B(x, x') \cup B(y, y') = {1,2, 3, ...}$。固定 $0 < x < 1$，并令当 $k \in B(x, 0)$ 时 $c_k = 1$，否则 $c_k = 0$，即 $c_k=[ (k+1) / x ] - [ k / x]$。对正整数 $m$，令 $C_m$ 为二进制字 $c_1c_2c_3... c_m$。Brown 分解给出了与 $m$ 无关且至少指数增长的整数 $q_1, q_2, ...$，以及整数 $t, z_0, z_1, z_2, ..., z_t$（依赖于 $m$），使得 $C_m = C_{q_t}^{z_t}C_{q_{t-1}}^{z_{t-1}} ... C_{q_1}^{z_1}C_{q_0}^{z_0}$。换言之，Brown 分解给出了 $C_\infty$ 的一组稀疏初始段，并给出了 $C_m$（对每个 $m$）分解为这些初始段之积的显式表达式。