图的分数匹配排除数

设 $G$ 是一个具有偶数个顶点的图。$G$ 的匹配排除数记为 $mp(G)$，是指删去最少数量的边使得所得图没有完美匹配。我们曾引入一种 $0$-$1$ 线性规划，可用于求图的匹配排除数。本文中，通过松弛该 $0$-$1$ 线性规划，我们得到一个线性规划，并将其最优目标值称为图 $G$ 的分数匹配排除数，记为 $mp_f(G)$。我们证明对任意图 $G$，$mp_f(G)$ 可在多项式时间内计算。利用完美匹配多面体，我们将其转化为一个新的线性规划，其最优值等于 $mp_f(G)$ 的倒数。对于二部图 $G$，我们得到了 $mp_f(G)$ 的显式公式，并证明 $\lfloor mp_f(G) \rfloor$ 是使得 $G$ 具有 $k$-因子的最大整数 $k$。此外，对任意两个二部图 $G$ 和 $H$，我们证明 $mp_f(G \square H) \geqslant mp_f(G)+\lfloor mp_f(H) \rfloor$，其中 $G \square H$ 是 $G$ 与 $H$ 的笛卡尔积。