分形层级结构实现拓扑边界态的指数扩展

指数增长描述了数学以及多种物理、生物和技术系统中普遍存在的极快速过程。这里，我们引入一类受分形启发的晶格，将长程周期序与自相似层级相结合，建立了一种能够实现拓扑边界态指数扩展的结构单元。我们在(i)由科赫曲线单元构建的准一维晶格链和(ii)由谢尔宾斯基垫片单元组成的二维周期铺砌晶格中展示了这一现象。我们证明，对于合适的耦合参数，拓扑边界态的数量 $N_{\ell}$ 和拓扑微隙的数量 $M_{\ell}$ 均随分形生成指标 $\ell$ 指数增长。我们发现 $N_{\ell}$ 是 $M_{\ell}$ 的整数倍，该整数由底层对称性决定。这种层级扩展定律由多拓扑相理论描述，并通过激光写入的光子晶格实验验证。我们的结果将分形层级确定为控制边界态多重性的材料架构原理，揭示了拓扑、自相似几何与周期序之间的相互作用。更广泛地，这项工作为合成材料和集成光子平台提供了一条途径，可在其中于紧凑架构内工程化大量鲁棒边界模式。