$\mathbb{R}^{n}$中动力系统的双曲与非双曲不动点及奇点的分形分析

本文的主要目标是研究高维离散动力系统双曲和非双曲不动点附近轨道的盒维数。我们推广了一维系统的已知结果，即一维离散动力系统双曲不动点附近的轨道盒维数等于零，非双曲不动点附近的轨道具有正盒维数。在研究盒维数的过程中，我们使用了稳定、不稳定和中心流形以及适当的系统限制。主要结果是：在稳定和不稳定双曲不动点附近以及在稳定和不稳定流形上，轨道的盒维数等于零。非双曲情形下的主要结果是，盒维数由中心流形上的盒维数决定。我们还引入了投影盒维数，并将其用作非双曲性的充分条件。最后，通过单位时间映射，离散系统的所有结果均可应用于连续系统，因此我们将其应用于高维连续动力系统的双曲和非双曲奇点。