用于多集和测度的傅里叶切片 Wasserstein 嵌入

我们提出了傅里叶切片 Wasserstein (FSW) 嵌入——一种将 $\mathbb{R}^d$ 上的多集和测度嵌入到欧几里得空间的新方法。我们的嵌入方法在保持分布上的切片 Wasserstein 距离方面具有近似保留特性，从而得到几何上有意义的表示，更好地捕捉输入数据的结构。此外，FSW 嵌入在测度上是单射的，在多集上是双 Lipschitz 连续的——这在基于求和或最大池化的常见方法上具有显著优势，这些方法被证明并非双 Lipschitz 连续，许多情况下甚至非单射。这些保证所需的输出维度接近最优：大约为 $2 N d$，其中 $N$ 为最大输入多集大小。 Furthermore, 我们证明了将 $\mathbb{R}^d$ 上的分布以双 Lipschitz 方式嵌入到欧几里得空间是不可能的。因此，Our embedding 的度量性质在某种意义上是最佳的。通过数值实验，我们展示了该方法产生的优越多集表示能够在实际学习任务中提升性能。具体而言，我们展示了 (a) 将 FSW 嵌入与简单 MLP 组合可实现学习 (非切片) Wasserstein 距离的国际前沿性能；以及 (b) 用 FSW 嵌入取代 max 池化后，PointNet 在参数削减方面显著更稳健，即使在 40 倍削减后，性能下降也仅有限。