对称函数的傅里叶延拓估计及其在非线性亥姆霍兹方程中的应用

我们建立了定义在单位球面 $\mathbb{S}^{N-1}$ 上的 $O(N-k) \times O(k)$-不变函数的加权 $L^p$-傅里叶延拓估计，允许指数 $p$ 低于 Stein-Tomas 临界指数 $\frac{2(N+1)}{N-1}$。此外，在任意闭子群 $G \subset O(N)$ 及 $G$-不变函数这一更一般的情形下，我们研究了加权傅里叶延拓估计关于相应加权亥姆霍兹预解算子的有界性与非零消失性质的含义。最后，我们利用这些性质推导了非线性亥姆霍兹方程 $$- \Delta u - u = Q(x)|u|^{p-2}u, \quad u \in W^{2,p}(\mathbb{R}^{N})$$ 的 $G$-不变解的新存在性结果，其中 $Q$ 是一个非负有界且 $G$-不变的权函数。