随机弦图交图中巨分支的形成

我们研究弦稀疏相交时，随机弦图最大分支中的弦数与交叉数。这等价于研究随机交图最大分支中的顶点数与边数。记弦数为 $n$，交叉数为 $m$，当 $m/n\log(n)$ 趋于 $(0,2/\pi^2)$ 内的极限时，我们证明从具有给定参数的所有图中均匀随机选取的弦图，其包含一个拥有几乎全部交叉点和正比例弦的分支。另一方面，当 $m < n/14$ 时，最大分支的大小为 $O(\log n)$ 量级。关键的分析工具之一是基于 Touchard-Riordan 公式和 Euler 配分函数的 Jacobi 恒等式，导出的参数为 $n$ 和 $m$（其中 $m <(2/\pi^2)n\log(n)$）的弦图数量的渐近表达式。