用于不规则域上由 $\alpha$-stable L\'{e}vy 过程驱动的高维偏微分方程的分数 Neural Walk-on-Spheres 方法
数值分析
2026-02-02 v1 数值分析
摘要
本文发展了一种高度并行且无导数的数分数神经 walk-on-spheres 方法 (FNWoS)，用于求解不规则域上高维分数 Poisson 方程。我们首先提出一种简化的分数 walk-on-spheres (FWoS) 方案，将高维归一化权重积分替换为常数权重，并采用相应更简单的抽样密度，显著降低每个轨迹的计算成本。为缓解标准蒙特卡洛抽样的慢收敛问题，FNWoS 通过将这种简化 FWoS 估计器（源自 Feynman-Kac 表示）与神经网络代理相结合来实现。通过在训练期间将抽样 effort 在整个域中摊销，FNWoS 在任意查询点处实现更精确的评估，并显著减少轨迹数量。为进一步提高当分数次序 接近 2 且轨迹变得过长时的效率，我们引入一种带有预设最大步数截断路径策略。基于此，我们提出一种缓冲监督机制，缓存训练对并逐步细化其蒙特卡洛目标，从而消除预计算高度准确训练集的需求，产生受缓冲分数神经 walk-on-spheres 方法 (BFNWoS)。广泛的数值实验，包括不规则域测试以及最高达 维的问题，表明所提方法在准确性、可扩展性和计算效率方面均表现出色。
引用
@article{arxiv.2601.22942,
title = {FNWoS: Fractional Neural Walk-on-Spheres Methods for High-Dimensional PDEs Driven by $\alpha$-stable L\'{e}vy Process on Irregular Domains},
author = {Ling Guo and Mingxin Qin and Changtao Sheng and Hao Wu and Fanhai Zeng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.22942},
year = {2026}
}