作为有向colimits的平坦余模与反模，以及上同调周期性

本文是arXiv:2212.09639的后续工作。我们考虑两种代数设定：余环上的余模，以及具有可数双边理想基的拓扑环上的反模。这些对应于某类栈与ind-仿射ind-概型的两种（非交换）代数几何设定。在非负交换环A上的余环$\mathcal C$的语境下，我们证明所有A-平坦$\mathcal C$-余模都是A-可数可呈现的A-平坦$\mathcal C$-余模的$\aleph_1$-有向colimits。在具有由双边理想构成的零邻域可数基的完备、分离拓扑环$\mathfrak R$的语境下，我们证明所有平坦$\mathfrak R$-反模都是可数可呈现平坦$\mathfrak R$-反模的$\aleph_1$-有向colimits。我们还描述了A-平坦$\mathcal C$-余模与平坦$\mathfrak R$-反模的任意复形、短正合列和纯无环复形作为可数可呈现对象的类似复形的$\aleph_1$-有向colimits。论证基于一种非常一般的范畴论技术，该技术可追溯到Ulmer 1977年未发表预印本，并在arXiv:2310.16773中被重新发现。讨论了在各自设定中对于上同调周期性与平坦对象的上导出范畴的应用。特别地，在任何上同调无环$\mathfrak R$-反模复形中，所有上循环的反模都是上同调的。