基于 fl RDT 的负球面感知器容量的终极降低

我们考虑经典的\emph{球面}感知器并研究其容量。著名的零阈值情形已于上世纪六十年代解决（见 \cite{Wendel62,Winder,Cover65}），其通过高维组合考量实现。然而，一般阈值 $\kappa$ 的情形被证明要困难得多，并在随后的几十年中一直无法解决。随后在 \cite{SchTir02} 和 \cite{StojnicGardGen13} 中取得了实质性进展，最终完全解决了\emph{正}阈值（$\kappa\geq 0$）情形。虽然负对应情形（$\kappa\leq 0$）仍无法解决，但 \cite{StojnicGardGen13} 表明随机对偶理论 (RDT) 仍然足够强大，可提供极佳的上界。此外，在 \cite{StojnicGardSphNeg13} 中考虑了\emph{部分提升}的 RDT 变体，并表明可以降低 \cite{StojnicGardGen13} 的上界。在最近研究双线性索引 (bli) 随机过程取得突破 \cite{Stojnicsflgscompyx23,Stojnicnflgscompyx23} 之后，\emph{完全提升}随机对偶理论 (fl RDT) 在 \cite{Stojnicflrdt23} 中得以发展。我们在此首先证明\emph{负球面感知器}可以纳入 fl RDT 框架，然后利用整个 fl RDT 机制来刻画容量。为了完全具备实际操作性，fl RDT 需要大量的数值工作。然而，我们发现了关键提升参数之间显著的闭式解析关系。这一发现使得能够执行所需的数值计算以获得具体的容量值。我们还观察到，在\emph{平稳化}完全提升的第三层（第二个非平凡层）就已经实现了极好的收敛性（相对改进 $\sim 0.1\%$）。