Ultrametric OGP - 参数化 RDT 对称二进制感知器连接

在 [97,99,100] 中, 引入了用于刻画统计计算间隙(SCGs)的 fl-RDT 框架。研究对称二进制感知器(SBPs), [100] 在第七个提升层(当边际系数 $\kappa=1$ 时)获得算法阈值估计 $\alpha_a\approx \alpha_c^{(7)}\approx 1.6093$, 与 [18] 中 $1.58$ 的局部熵(LE)预测高度吻合。本文进一步将参数化 RDT 与重叠间隙属性(OGPs)相连接, 这是解空间的一个关键几何特征。具体而言, 对于任意正整数 $s$, 我们考虑 $s$ 层超度数 OGPs ($ult_s$-OGPs) 并严格上界其关联约束密度 $\alpha_{ult_s}$。为实现此目标, 我们发展了一个由组合数学和概率数学组件构成的解析并列上界程序。将组合部分作为凸问题, 将概率部分作为嵌套积分, 我们进行数值求解并得出在前两层, $\bar{\alpha}_{ult_1} \approx 1.6578$ 和 $\bar{\alpha}_{ult_2} \approx 1.6219$ 的紧致上界, 这些值与第 3、4 层参数化 RDT 估计 $\alpha_c^{(3)} \approx 1.6576$ 和 $\alpha_c^{(4)} \approx 1.6218$ 高度接近。我们还观察到在其他关键参数(包括重叠值和超度数簇的相对大小)上的优异一致性。基于这些观察, 我们提出了若干将 $ult$-OGP 与参数化 RDT 联系起来的猜想。具体而言, 我们猜想算法阈值 $\alpha_a=\lim_{s\rightarrow\infty} \alpha_{ult_s} = \lim_{s\rightarrow\infty} \bar{\alpha}{ult_s} = \lim_{r\rightarrow\infty} \alpha_{c}^{(r)}$, 且 $\alpha_{ult_s} \leq \alpha_{c}^{(s+2)}$ (在某些(甚至全部) $s$ 时可能相等)。最后, 我们讨论了连接 $ult$-OGP 与参数化 RDT 所有关键参数的完整同构的可能性。