N点引力透镜映射的不动点
经典物理
2019-01-09 v1
摘要
本文研究N点引力透镜的映射不动点。我们利用透镜映射的复形式来研究不动点。复形式相较于坐标形式具有优势，因为N点引力透镜可用两个方程组成的系统以坐标形式描述，而用复形式仅需一个方程即可描述。我们可以方便地将描述N点引力透镜的方程转化为便于研究的多项式方程。在我们的工作中，将透镜映射表示为两个映射的线性组合：复解析映射与恒等映射。解析映射由解析函数（偏转函数）给出。我们研究了偏转函数存在的充要条件并证明了若干定理。偏转函数是解析的、有理的，其零点为透镜映射的不动点，数量从1到N-1；偏转函数的极点为点质量的坐标，所有极点均为单极点，极点处的留数等于点质量的值。\我们利用Gauss-Lucas定理证明了透镜映射的所有不动点均位于由点质量构成的凸多边形内。我们证明了可用于求解透镜映射所有不动点的定理。基于上述结论，我们得出：单点引力透镜无不动点，2点透镜仅有1个不动点，3点透镜有1或2个不动点。同时给出了计算2点和3点引力透镜中不动点的表达式。我们给出了点质量参数化的一些示例以及该参数化下不动点的分布。
引用
@article{arxiv.1811.12509,
title = {Fixed points of mapping of N-point gravitational lenses},
author = {Albert Kotvytskiy and Volodymir Shablenko and Evgenij Bronza},
journal= {arXiv preprint arXiv:1811.12509},
year = {2019}
}