巴拿赫空间中分裂子空间与投影的五个定理及其在算子拓扑与分析中的应用

设 $B(E,F)$ 表示从 $E$ 到 $F$ 的所有有界线性算子的集合，$B^+(E,F)$ 表示 $B(E,F)$ 中双分裂算子的集合。当 $E,F$ 均为无限维时，$B(E,F)$ 中不再有矩阵的基本变换，从而失去讨论 $B^+(E,F)$ 中诸如 $\Phi_{m,n}=\{T\in B(E,F): \dim N(T)=m<\infty \ \mbox{and} \ \mathrm{codim}R(T)=n<\infty\},$ $F_k=\{T\in B(E,F): \mathrm{rank}\, T =k<\infty\}$ 等集合道路连通性的途径。本文给出巴拿赫空间中关于投影与分裂子空间的五个定理以替代基本变换。令 $\Phi$ 表示 $F_k ,k<\infty$ 及满足 $m>0$ 或 $n>0$ 的 $\Phi_{m,n}$ 中的任意一个。利用这些定理我们证明 $\Phi$ 是道路连通的。这些定理在 $B^+(E,F)$ 中还承载一种等价关系，从而得到如下一般结果：由满足 $\dim N(T)>0$ 或 $\mathrm{codim} R(T)>0$ 的 $T\in B^+(E,F)$ 生成的等价类 $\widetilde{T}$ 是道路连通的。（该算子拓扑中的等价关系为首次出现。）作为定理应用，我们给出 $\Phi$ 是 $B(E,F)$ 中光滑且道路连通的子流形，且在任意 $X\in {\Phi }$ 处的切空间为 $T_X\Phi =\{T\in B(E,F): TN(X)\subset R(X)\}$，并证明 $B(\mathbf{R}^m,\mathbf{R}^n)=\bigcup^{\min\{n,m\}}\limits_{k=0}F_k$ 具有如下几何与拓扑性质：$F_k ( k <\min\{ m,n\})$ 是 $B(E,F)$ 中光滑且道路连通的子超曲面，特别地，$\dim F_k=(m+n-k)k, k=0,1, \cdots , \min\{m.n\}.$ 特别令人感兴趣的是 $F_k \, \, k=0,1, \cdots , \min\{m.n\}$ 的维数公式，这是代数几何中的新结果。鉴于上述定理的证明，可以说定理 $1.1-1.5$ 提供了在 $B^+(E,F)$ 中寻找道路连通集合的法则，此言并不为过。