以最小不一致拟合度量与超度量

给定记录成对距离的 $x \in (\mathbb{R}_{\ge 0})^{\binom{[n]}{2}}$，METRIC VIOLATION DISTANCE（MVD）问题要求计算 $x$ 与度量锥的 $\ell_0$ 距离；即修改 $x$ 的最少条目数使其成为一个度量。由于该问题在各种数据分析和优化任务中的大量应用，近期被积极研究。我们提出一种 MVD 的 $O(\log n)$ 近似算法，指数级改进了 Fan 等人 [SODA, 2018] 先前最佳的 $O(OPT^{1/3})$ 近似比。此外，我们算法的主要优势在于其简洁性与运行时间。我们还研究了相关问题 ULTRAMETRIC VIOLATION DISTANCE（UMVD），其目标是计算到超度量锥的 $\ell_0$ 距离，并给出了常数因子近似算法。UMVD 可视为 Ailon 和 Charikar [SIAM J. Computing, 2011] 以及 Cohen-Addad 等人 [FOCS, 2021] 所研究的从 $\ell_1$ 范数到 $\ell_0$ 范数拟合超度量问题的扩展。我们表明该问题可有利地解释为带额外层次结构的相关聚类（Correlation Clustering）实例，并使用一种新的相关聚类 $O(1)$-近似算法求解，该算法具有输出最优簇细化的结构性质。满足此性质的算法可视为具有独立意义。我们还为加权实例提供了 $O(\log n \log \log n)$ 近似算法。最后，我们研究了这些问题的互补版本，即旨在选取 $x$ 中构成（超）度量的最大条目数。与最小化版本形成鲜明对比，我们证明在唯一博弈猜想（Unique Games Conjecture）下，这些最大化版本难以在任意常数因子内近似。