超度量违例距离的改进近似算法

我们研究了由 Cohen-Addad、Fan、Lee 和 Mesmay [FOCS, 2022] 提出的超度量违例距离（Ultrametric Violation Distance）问题。给定成对距离 $x\in \mathbb{R}_{>0}^{\binom{[n]}{2}}$ 作为输入，目标是修改最少数量的距离以使其成为一个有效的超度量。换言之，这是将超度量拟合到给定数据的问题，其中拟合质量由误差的 $\ell_0$ 范数度量；该问题在 $\ell_\infty$ 和 $\ell_1$ 范数下的变体在文献中已被充分研究。我们的主要结果是针对超度量违例距离的 5-近似算法，改进了先前最好的大常数因子（$\geq 1000$）近似算法。对于加权超度量违例距离，其中权重满足三角不等式且 $L$ 为输入中不同值的数量，我们给出了 $O(\min\{L,\log n\})$-近似。我们还针对 $k$-部图上的问题给出了 $16$-近似，其中输入在构成完全 $k$-部图的顶点对上给出。我们所有的结果都使用了一个统一的算法框架，并对三种情况做了微小修改。