受恒定力和随机力作用的粒子的首通和极值统计

我们考虑一个在 x 轴上运动并受到恒定力（如重力）加上高斯白噪声形式的随机力作用的粒子。我们分析了从起点 $x_0$ 以速度 $v_0$ 出发的粒子首次到达点 $x_1$ 的统计特性。考虑了粒子在时间 $t$ 后尚未到达 $x_1$ 的概率、首次到达的平均时间以及首次到达时的速度分布。我们还研究了粒子首次返回其起点的统计特性。最后，我们指出粒子的极值统计与首通统计密切相关，并推导了最大位移 $m={\rm max}_t[x(t)]$ 的分布。