从 $C_{20}$ 出发构造任意富勒烯的有限操作集

我们研究富勒烯组合分类这一著名问题。所谓（数学上的）富勒烯，是指所有面均为五边形和六边形的凸简单三维多面体。我们分析从十二面体（富勒烯 $C_{20}$）出发构造任意富勒烯的方法。增长操作是一种组合操作，它将简单多面体表面上具有更多面且相同边界的补片替换原补片，从而生成新的简单多面体。已知需要无限多个不同的将富勒烯变为富勒烯的增长操作，才能从十二面体构造出任意富勒烯。我们证明，如果允许多面体包含一个例外面（四边形或七边形），则有限个增长操作便已足够。我们分析如下对象对：一个有限操作集，以及一个包含富勒烯的可接受多面体族，使得该族中的任意多面体均可通过相应操作集中的一系列操作从十二面体得到。我们明确描述了三个这样的对象对。前两对包含七个操作，最后一对包含十一个操作。这些操作中的每一个都对应一个有限增长操作集，并且是棱截断与双棱截断的复合。