基于生长操作的几何形状构造研究

在本文中，我们研究新颖的算法生长过程。特别地，我们提出三种生长操作：完全倍增、RC 倍增和倍增，并探索其在几何设定下所产生过程的算法与结构性质。在建模方面，我们的系统运行在二维网格上并以离散时间步演化。过程从初始形状 $S_I=S_0$ 开始，在每个时间步 $t \geq 1$，通过对当前形状实例 $S_{t-1}$ 并行施加一种或多种特定类型的生长操作，生成下一实例 $S_t$，且始终满足 $|S_t| > |S_{t-1}|$。我们的目标是刻画可在 $O(\log n)$ 或 polylog $n$ 时间步内构造的形状类，并确定最终形状 $S_F$ 能否通过使用给定类型的有限生长操作序列（称为 $S_F$ 的构造器）从初始形状 $S_I$ 构造出来。对于完全倍增（每个时间步中每个节点在给定方向生成一个新节点），我们完全刻画了从给定初始形状可构造的形状类的结构。对于 RC 倍增（完整的列或行倍增），我们的主要贡献是一个线性时间集中式算法，对任意形状对 $S_I$、$S_F$ 判定 $S_F$ 能否从 $S_I$ 构造，若可以，则返回从 $S_I$ 构造 $S_F$ 的 $O(\log n)$ 时间步构造器。对于最一般的倍增操作（至多单个节点可倍增），我们证明某些形状无法在亚线性时间步内构造，并给出从单点初始形状 $S_I$ 构造任意 $S_F$ 的两个通用构造器，它们对大类形状是高效的（即至多 polylog 时间步）。两个构造器均可由多项式时间集中式算法对任意形状 $S_F$ 计算。