论几何形状的指数级增长

在本文中，我们探讨几何结构如何以指数级快速生长。所研究的过程从一个初始形状开始，并应用一系列集中式生长操作来生长其他形状。我们关注初始形状仅为单个节点的情况。如此快速地生长形状的一个技术挑战是，需要避免当形状断裂、拉伸或自相交时引起的碰撞。我们确定了一个参数$k$，表示形状特定部分内转折点的数量。我们证明，如果边只能在生成新节点时形成且不能被删除，那么每条根到叶路径上具有$O(k)$个转折点的树可以在$O(k\log n)$个时间步内生长，具有$O(\log n)$个转折点的螺旋可以在$O(\log n)$个时间步内生长，其中$n$为最终形状的大小。对于这种情况，我们还证明了树的根到叶路径中转折点的最大数量是生长该树所需时间步数的下界，并且存在一类路径，使得该类中任何具有$\Omega(k)$个转折点的路径都需要$\Omega(k\log k)$个时间步才能生长。如果节点在相邻时可以额外连接，我们证明如果形状$S$具有一棵每条根到叶路径上有$O(k)$个转折点的生成树，那么$S$的邻接闭包可以在$O(k \log n)$个时间步内生长。在我们研究的最强模型中，边可以被删除且邻居可以移交给新生成的节点，我们获得了一种通用算法：对于任何形状$S$，它都给出一个从该单个节点指数级快速生长出$S$的过程。