有限域上 Kac-Moody 群的有限可表现性

设 $\mathcal{G}$ 为 Tits 意义下的 Kac-Moody 群函子,其伴随 Coxeter 系统为 $(W,S)$。对任意域 $F$,群 $\mathcal{G}(F)$ 有限生成当且仅当 $F$ 有限。我们关注 $G = \mathcal{G}(\mathbb{F}_q)$ 何时为有限表现的问题。若 $(W,S)$ 为 2-球面的,众所周知这“几乎总是”成立。有猜想认为若 $(W,S)$ 非 2-球面(即存在 $s,t \in S$ 使得 $|st| = \infty$),则 $G$ 永非有限表现;据我们所知,目前仅对 $\tilde{A_1}$ 型证明了该猜想,或许也对所有 $s \neq t \in S$ 均有 $|st| = \infty$ 的情形成立,但我们未见到相关文献。本文中,我们证明了对一类显著更大的非 2-球面 Coxeter 系统,$G$ 不是有限表现的,从而为猜想在一般情形下成立提供了更强有力的证据。证明的重要工具是孪生 BN 对以及 $G = \mathcal{G}(\mathbb{F}_q)$ 对应的孪生 buildings。