任意维数下标量曲率的有限元逼近

我们分析了维数 $N \ge 2$ 下标量曲率的有限元离散。我们的分析聚焦于多面体区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 的单纯剖分上光滑黎曼度量 $g$ 的分段多项式插值，其最大单元直径为 $h$。我们证明，若此类插值 $g_h$ 具有多项式次数 $r \ge 0$ 且在余维-1 单形上拥有单值切-切分量，则它容许一种自然的（密度化）标量曲率概念，在 $H^{-2}(\Omega)$ 范数下以 $O(h^{r+1})$ 的速率收敛于 $g$ 的（密度化）标量曲率（当 $h \to 0$ 时），前提是 $N = 2$ 或 $r \ge 1$。作为一个特例，我们的结果意味着在二维三角剖分上广泛使用的高斯曲率的“角亏”逼近在 $H^{-2}(\Omega)$ 中的收敛性，且对插值度量 $g_h$ 无严苛假设。我们给出了数值实验，表明我们的分析估计是尖锐的。