Mumford-Shah 极小化子裂纹尖端位置的精细数值分析

介绍了一种新算法，用于在出现裂纹尖端的情况下确定 Mumford-Shah 泛函某些极小化子的裂纹（间断集）位置。利用复平面上的保角映射 $w=\sqrt{z}$ 将自由间断问题转化为一类新的自由边界问题，其中自由边界的对称性是一种非局部性质的附加约束。与传统 Jacobi 或 Newton 迭代法不同，我们提出了一种简单迭代法，它不需要 Jacobian 矩阵，但比 Jacobi 迭代快得多。在每次迭代中，需要在不规则区域上求解拉普拉斯方程，在边界的固定部分施加 Dirichlet 边界条件，沿自由边界施加 Neumann 型边界条件。采用增广浸没界面法求解该势问题。数值结果与解析分析一致，并为自由间断问题中的一些开放问题提供了见解。