迭代阈值法遇上自由间断问题

自由间断问题描述的是这样一种情况：感兴趣的解由一个函数和该函数间断点组成的低维集合共同定义。因此，解的导数几乎处处被假定为一个“小”函数，除了在某些集合上它作为奇异测度集中。例如，这出现在断裂力学的裂纹检测或某些数字图像分割问题中。如果为了数值目的对这种情况进行离散化，离散设定下的自由间断问题可以重新表述为寻找一个导数向量，该向量除了少数超过某个阈值的分量外，所有分量都很小。这个问题类似于“稀疏恢复”领域中遇到的问题，在该领域中，通过最小化相关能量泛函，从少量给定的线性测量中恢复出在绝对值上具有少量主导分量的向量。几种迭代阈值算法，将梯度型迭代与阈值步骤交织在一起，已被设计用于恢复该设定下的稀疏解。很自然地会想知道这些算法是否以及/或者如何能够用于求解离散自由间断问题。本文探讨了这一联系，并通过为离散自由间断问题建立一种迭代阈值算法，为理解其极小化解的性质提供了新的见解。