寻找高斯随机矩阵中平均条目较大的子矩阵

我们考虑如下问题：在一个元素为独立同分布标准高斯变量的 $n\times n$ 矩阵中，寻找一个具有较大平均条目的 $k\times k$ 子矩阵。先前 Bhamidi 等人证明，此类矩阵的最大平均值以高概率为 $2\sqrt{\log n/k}$。同一篇论文中提供了证据表明，一种称为最大平均子矩阵（$\LAS$）的自然贪心算法所产生的矩阵，其平均条目大约小 $\sqrt{2}$ 倍。在本文中，我们证明 $\LAS$ 算法所产生的矩阵以高概率确为 $\sqrt{2\log n/k}$。随后，通过与随机图中寻找团的问题进行类比，我们提出一种简单的贪心算法，该算法产生一个具有渐近相同平均值的 $k\times k$ 矩阵。由于该贪心算法是随机图中寻找团的最佳已知算法，人们很容易认为，要战胜这两种算法所面临的 $\sqrt{2}$ 因子性能差距可能极具挑战性。令人惊讶的是，我们证明了一种非常简单的算法的存在性，该算法产生平均值为 $(4/3)\sqrt{2\log n/k}$ 的矩阵。为了深入了解该问题的算法难度，并受自旋玻璃理论方法的启发，我们对平均值为渐近 $\alpha\sqrt{2\log n/k}$ 的矩阵进行了所谓的期望重叠分析。重叠对应于达到该值的两矩阵对的公共行数与公共列数。我们通过数值发现了在 $\alpha^*\approx 1.3608..$ 处一个引人入胜的相变：当 $\alpha<\alpha^*$ 时，重叠空间是 $[0,1]^2$ 的连续子集，而 $\alpha=\alpha^*$ 标志着不连续性的开始，且当 $\alpha>\alpha^*$ 时模型展现出重叠间隙性质（Overlap Gap Property）。我们猜想 $\alpha>\alpha^*$ 标志着算法难度的开始。