卡方放大：识别隐藏枢纽

我们考虑如下通用隐藏枢纽模型：一个$n \times n$随机矩阵$A$，具有$k$个特殊行（枢纽）的子集$S$：不在$S$中的行元素由概率分布$p_0 \sim N(0,\sigma_0^2)$生成；对于$S$中的每一行，其某些$k$个元素由$p_1 \sim N(0,\sigma_1^2)$生成（$\sigma_1>\sigma_0$），其余元素由$p_0$生成。问题是高效识别高度数枢纽。该模型包含并显著推广了植入高斯子矩阵模型，其中特殊元素全在一个$k \times k$子矩阵中。存在两个著名壁垒：若$k\geq c\sqrt{n\ln n}$，仅行和就足以在通用模型中找到$S$。对于子矩阵问题，通过谱方法或组合方法可改进$\sqrt{\ln n}$因子至$k \ge c\sqrt{n}$。在$p_0=\pm 1$（各以概率$1/2$）且$p_1\equiv 1$的变体中，两个壁垒均未被打破。我们给出一种多项式时间算法，当$\sigma_1^2>2\sigma_0^2$时，对某个$\delta >0$，在$k \ge n^{0.5-\delta}$下以高概率识别所有隐藏枢纽。该算法推广到植入元素可能具有不同方差（每个至少与$\sigma_1^2$一样大）的情形。我们还展示了近乎匹配的下界：对于$\sigma_1^2 \le 2\sigma_0^2$，不存在多项式时间统计查询算法来区分元素全来自$N(0,\sigma_0^2)$的矩阵与具有$k=n^{0.5-\delta}$隐藏枢纽的矩阵（任意$\delta >0$）。下界与算法均关联到两个分布的卡方距离是否发散。在临界值$\sigma_1^2=2\sigma_0^2$处，我们证明通用隐藏枢纽问题可在$k\geq c\sqrt n(\ln n)^{1/4}$下求解，改进了朴素的基于行和的方法。