隐藏子矩阵的检测与恢复

本文研究在大高斯随机矩阵中检测与恢复具有升高均值的隐藏子矩阵的问题。我们考虑两种针对植入子矩阵的不同结构。在第一种模型中，植入矩阵互不相交，其行和列索引可以是任意的。受科学应用启发，第二种模型将行和列索引限制为连续的。在检测问题中，在原假设下，观测矩阵是独立同分布标准正态元素的实现。在备择假设下，同一标准正态矩阵内部存在一组具有升高均值的隐藏子矩阵。恢复指的是定位隐藏子矩阵的任务。对于这两个问题以及两种模型，我们通过推导信息论下界、设计和分析匹配这些界的算法，以及基于低次多项式猜想证明计算下界，刻画了统计与计算障碍。特别地，我们表明模型参数空间（即植入子矩阵的数量、其维度和升高均值）可划分为三个区域：不可能区域，所有算法均失败；困难区域，虽然检测或恢复在统计上可行，但我们给出证据表明不存在多项式时间算法；以及简单区域，存在多项式时间算法。