广义 van der Waerden 游戏中的快速获胜策略

考虑如下 Maker-Breaker 游戏。固定自然数集的一个有限子集 $S\subset\mathbb{N}$。玩家 Maker 与 Breaker 轮流选取此前未被选过的自然数。Maker 通过最终构造出 $S$ 的相似拷贝 $aS+b$（其中 $a\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ 且 $b\in\mathbb{Z}$）而获胜。这是 Beck 所分析的 van der Waerden 游戏的推广。由 Hales-Jewett 定理，存在仅依赖于 $|S|$ 的常数 $c$ 使得 Maker 可在 $c$ 步或更少步内获胜。我们证明当 $|S|\leq 3$ 时 Maker 可在 $|S|$ 步内获胜。当 $|S|=4$ 时，我们证明 Maker 总能在 $5$ 步或更少步内获胜，并刻画所有使 Maker 可在 $4$ 步内获胜的 $S$。若 $|S|\geq 5$，Maker 无 $|S|$ 步内的获胜策略。