快速、凸且条件化的多保真向量与刚性单变量微分方程网络
机器学习
2025-08-11 v1 泛函分析
表示论
计算物理
摘要
神经PDE求解器中的精度问题往往并非源于表达性不足，而是由于由于条件不佳导致的优化困难，尤其是在多保真问题和刚性问题中尤为如此。我们在物理信息极端学习机（Physics-Informed Extreme Learning Machines, Pielms）中研究了这一问题，这是一种神经PDE求解器的凸变体，表明支配方程中的渐近分量会产生高度条件受限的激活矩阵，严重限制了收敛性。我们引入偏移高斯编码（Shifted Gaussian Encoding），这是一种简单而有效的激活过滤步骤，通过增加矩阵秩和表达性同时保持凸性。我们的方法将稳态输动扩散方程中Peclet数可解决范围提升了两个数量级， 在多频率函数学习中实现了最高六个数量级的误差降低，能够比拥有百万参数以上深度网络更准确、更快地拟合高保真图像向量。这一工作表明，条件性而非深度往往是科学神经求解器中的瓶颈，简单的时间网络结构变更即可实现显著的性能提升。
引用
@article{arxiv.2508.05921,
title = {Fast, Convex and Conditioned Network for Multi-Fidelity Vectors and Stiff Univariate Differential Equations},
author = {Siddharth Rout},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.05921},
year = {2025}
}