行列式与积和式的 Fano 概形

设 $D_{m,n}^r$ 和 $P_{m,n}^r$ 分别表示由 $m\times n$ 未定元矩阵的 $r\times r$ 行列式（分别为 $r\times r$ 积和式）所定义的 $\mathbb{P}^{mn-1}$ 的子概形。在本文中，我们研究了 Fano 概形 $\mathbf{F}_k(D_{m,n}^r)$ 和 $\mathbf{F}_k(P_{m,n}^r)$ 的几何性质，它们分别参数化位于 $D_{m,n}^r$ 和 $P_{m,n}^r$ 上的 $\mathbb{P}^{mn-1}$ 中的 $k$ 维平面。我们证明了刻画这些 Fano 概形何时光滑、不可约及连通的结果；并给出了表明它们未必既约的例子。我们证明了 $\mathbf{F}_1(D_{n,n}^n)$ 总是具有期望维数，并精确描述了其分支。最后，我们对 $3\times 3$ 行列式超曲面与积和式超曲面上的 $k$ 平面 Fano 概形进行了详细研究。