推广希尔伯特矩阵的显式可对角化加权汉克尔矩阵族

引入了一个三参数加权汉克尔矩阵族 $B=B(a,b,c)$，其矩阵元为 $$B_{j,k}=\frac{\Gamma(j+k+a)}{\Gamma(j+k+b+c)}\,\sqrt{\frac{\Gamma(j+b)\Gamma(j+c)\Gamma(k+b)\Gamma(k+c)}{\Gamma(j+a)\, j!\,\Gamma(k+a)\, k!}}\,$$, 其中 $j,k\in\mathbb{Z}_{+}$，并假设 $a$、$b$、$c$ 为正且满足 $a<b+c$、$b<a+c$、$c\leq a+b$。著名的希尔伯特矩阵作为特例包含在内。证明了直和 $B(a,b,c)\oplus B(a+1,b+1,c)$ 与膨胀算子的离散类比可交换。由此得出存在与 $B(a,b,c)$ 可交换的三参数实对称雅可比矩阵族 $T(a,b,c)$。与 $T(a,b,c)$ 相关的正交多项式正是连续对偶哈恩多项式。因此，可以显式构造对角化 $T(a,b,c)$ 的酉映射 $U$。同时，$U$ 对角化 $B(a,b,c)$，并且表明该矩阵算子的谱是纯绝对连续的，并填满区间 $[0,M(a,b,c)]$，其中 $M(a,b,c)$ 显式已知。如果放宽假设 $c\leq a+b$ 而其余关于 $a$、$b$、$c$ 的不等式均成立，则谱还包含位于阈值 $M(a,b,c)$ 之上的有限离散部分。同样，所有特征值和特征向量都被显式描述。