图范畴与幺半群的忠实线性表示与关系表示

我们通过环和半环上的二元关系与矩阵来研究图范畴的表示。我们的主要结果是划分范畴 $P$（以及由此每个划分幺半群 $P_n$）在任意（加法）幂等半环上的 0-1 矩阵的忠实对合张量表示。所涉及矩阵的维数是 2 的幂，并且我们证明这对于任何半环上矩阵的忠实对合张量表示而言是最小的。有趣的是，这些矩阵编码了复合划分时形成的浮动分量的数目，因此可用于在具有适当特征的环上构造（$d$-）扭曲划分范畴 $P^\Phi$ 和 $P^{\Phi,d}$（以及相应的扭曲划分幺半群 $P_n^\Phi$ 和 $P_n^{\Phi, d}$）的忠实表示。我们还给出了 Brauer 和 Temperley--Lieb 范畴 $B$ 和 $TL$ 的低维对合表示。在 $TL$ 的情况下，维数由斐波那契数给出。