Benedicks-Carleson 二次映射的极值

我们考虑由 $f_{a}(x)=1-a x^2$ 给出的二次映射族，其中 $x\in [-1,1]$，$a$ 为 Benedicks-Carleson 参数。对于这些混沌动力系统中的每一个，我们研究由 $X_{n}=f_a^n$（对于每个整数 $n\geq0$）给出的平稳随机过程 $X_0,X_1,...$ 的极值分布，其中每个随机变量 $X_n$ 均按照 $f_a$ 唯一的绝对连续不变概率分布进行分布。利用 Benedicks 和 Carleson 发展的技术，我们证明了 $M_n=\max\{X_0,...,X_{n-1}\}$ 的极限分布与假设序列 $X_0,X_1,...$ 独立同分布时所适用的分布相同。这一结果使我们得出结论，$M_n$ 的渐近分布属于 III 型（Weibull 分布）。