树的补图的偏心矩阵的极值问题

连通图$G$的偏心矩阵记为$\mathcal{E}(G)$,由$G$的距离矩阵保留每行每列最大的非零元素、其余置零得到。$G$的$\mathcal{E}$-特征值是$\mathcal{E}(G)$的特征值,其中最大的是$G$的$\mathcal{E}$-谱半径。$G$的$\mathcal{E}$-能量是$G$的所有$\mathcal{E}$-特征值的绝对值之和。本文研究树的补图的偏心矩阵的一些极值问题并刻画极值图。首先,我们确定了在树的补图中,$\mathcal{E}$-谱半径最小( respectively,最大)的唯一树。然后,我们证明树的补图的$\mathcal{E}$-特征值关于原点对称。作为这些结果的推论,我们刻画了在树的补图中最小( respectively,最大)最小$\mathcal{E}$-特征值的树。最后,我们讨论了树的补图的第二大$\mathcal{E}$-特征值和$\mathcal{E}$-能量的极值问题并刻画极值图。作为一个应用,我们得到了树及其补图的第二大$\mathcal{E}$-特征值和$\mathcal{E}$-能量的Nordhaus-Gaddum型下界。