$S$-光滑数中禁用构型的极值密度

设 $S = \{p_1,\dots,p_r\}$ 为一组有限互异素数集合，设 $\Psi_S(X)$ 为不超过 $X$ 的 $S$-光滑整数的个数，并设 $F_S(X)$ 为 $M(S) \cap [1,X]$ 的子集的最大规模，且该子集不包含集合 $\{n,p_1 n,\dots,p_r n\}$。我们证明了当 $X \to \infty$ 时，$F_S(X)=\frac{r}{r+1}\Psi_S(X)+O_S\bigl((\log X)^{r-1}\bigr)$，等价地，对于前 $k$ 个 $S$-光滑数上相应的极值函数，$f_S(k)=\frac{r}{r+1}k+O_S\bigl(k^{(r-1)/r}\bigr)$。我们还将此问题与完整区间 $[1,N]$ 上的类似极值问题联系起来。利用此类禁用构型的经典理论，我们得到了相应密度常数 $\alpha_S$ 用 $f_S$ 的增量表示的表达式，以及嵌套的可计算界和 $S$-光滑数上倒数尾的递推公式。我们进一步表明，$S$-光滑分母上的有理倒数和不必源于最终周期的二进制序列。在经典情形 $S=\{2,3\}$ 下，我们推导出了显式的尾公式，并证明了关于最优集合的两个结构性命题。