希尔伯特流形上通过单射 $\sigma$-$Z$ 映射的映射延拓

本文旨在证明：若 $M$ 是一个以维数 $\alpha \geq \aleph_0$ 的希尔伯特空间为模型的可度量化流形，且 $F$ 是其 $\sigma$-$Z$ 集，则对任意权重不超过 $\alpha$ 的完全可度量化空间 $X$ 及其闭子集 $A$，对任意映射 $f: X \to M$、$M$ 的任意开覆盖 $\mathcal{U}$ 以及 $X$ 中与 $A$ 不相交的一列闭子集 $(A_n)_n$，存在一个与 $f$ 是 $\mathcal{U}$-同伦的映射 $g: X \to M$，使得 $g\bigr|_A = f\bigr|_A$，对每个 $n$，$g\bigr|_{A_n}$ 是闭嵌入，且 $g(X \setminus A)$ 是 $M$ 中与 $F$ 不相交的 $\sigma$-$Z$ 集。文中还证明：若 $f(\partial A)$ 包含于 $M$ 的一个局部闭 $\sigma$-$Z$ 集中，或 $f(X \setminus A) \cap \bar{f(\partial A)} = \empty$，则可选取 $g$ 使得 $g\bigr|_{X \setminus A}$ 是嵌入。此外，若 $X \setminus A$ 是以与 $M$ 相同的希尔伯特空间为模型的连通流形，且 $\bar{f(\partial A)}$ 是 $M$ 中的 $Z$ 集，则存在一个与 $f$ 是 $\mathcal{U}$-同伦的映射 $h: X \to M$，使得 $h\bigr|_A = f\bigr|_A$ 且 $h\bigr|_{X \setminus A}$ 是开嵌入。