将Carlitz和McConnel结果推广至非置换多项式
组合数学
2024-09-09 v1 数论
摘要
设D为域F_q[x]中多项式f的图所确定的方向集合，其中q为素数p的幂。若D包含在F_q^×的乘子子群M中，则根据Carlitz和McConnel的結果，必有f(x)=ax^{p^k}+b，其中k∈N。当D⊆M时，0不属于D，从而f为置换。若我们假设较弱的条件D⊆M∪{0}，则f不一定是置换，但Sziklai予以推测。当q为奇数且M的指数为偶数时，Ball、Blokhuis、Brouwer、Storme和Sz\H onyi联合McGuire和G\"olo\u{g}lu的結果可用于证明该猜想。设deg f≥1。我们证明若|D^{-1}D={d^{-1}d': d∈D\setminus{0}, d'∈D}|小于q-deg f+2，则f为F_q的置换。我们利用该结果验证了Sziklai的猜想。
引用
@article{arxiv.2409.04045,
title = {Extending a result of Carlitz and McConnel to polynomials which are not permutations},
author = {Bence Csajbók},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.04045},
year = {2024}
}