Schatten-von Neumann 范理想空间中 $\sigma$ -初等变换的扩展 Cauchy-Schwarz 不等式

设 $q, r, s \geqslant 1$ 满足 $\frac{1}{2q} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{s}$ 且 $X \in \mathcal{C}_s(\mathcal{H})$。若 $(\lambda_n)_{n=1}^{\infty}, (w_n)_{n=1}^{\infty}$ 为 $(0,+\infty)$ 中的序列，且 $(\lambda_n^{(1-q)/(2q)} A_n)_{n=1}^{\infty}$, $(\lambda_n^{1/(2q)} A_n^*)_{n=1}^{\infty}$, $(w_n^{-1/(2r)} B_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(w_n^{(r-1)/(2r)} B_n^*)_{n=1}^{\infty}$ 均为强平方可和，则存在 $\sideset{^{_{{\scriptstyle\,\mathcal{C}}_{\large s}\!\!}}}{\phantom{}}{\textstyle\sum_{n=1}^{+\infty}}A_nXB_n$，且\n\begin{equation*}\begin{split} &\bigg\|\!\sideset{^{_{{\scriptscriptstyle\,\Large\mathcal{C}_{\!s}\!\!}}}}{\phantom{}} \sum_{\,\,n=1}^{\,\,n=\infty}A_nXB_n\bigg\|_s \\ &\leqslant\bigg\|\!\sideset{^{_{{\scriptstyle\,{s}\!}}}}{\phantom{}}\sum_{\,n=1}^{\,\infty} \lambda_n^{\frac{1}{q}} A_n A_n^* \bigg\|^{\!\frac{1}{2} - \frac{1}{2q}}\! \bigg\|\!\sideset{^{_{{\scriptstyle\,{s}\!}}}}{\phantom{}}\sum_{\,n=1}^{\,\infty}w_n^{\!-\frac{1}{r}}\! B_n^* B_n \bigg\|^{\!\frac{1}{2} - \frac{1}{2r}}\! \bigg\|\!\bigg(\!\!\sideset{^{_{{\scriptstyle\,{s}\!}}}}{\phantom{}}\sum_{\,n=1}^{\,\infty} \lambda_n^{\!\frac{1}{q}-1}\! A_n^* A_n\! \bigg)^{\!\frac{1}{2q}}\! X\bigg(\!\!\sideset{^{_{{\scriptstyle\,{s}\!}}}}{\phantom{}}\sum_{\,n=1}^{\,\infty} w_n^{1-\frac{1}{r}}\! B_n B_n^*\! \bigg)^{\!\frac{1}{2r}}\! \bigg\|_s\!. \end{split} \end{equation*} 还给出等价不等式，并给出适用于 $(\lambda_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(w_n)_{n=1}^{\infty}$ 在 $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 中但不为双强平方可和的序列 $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(B_n)_{n=1}^{\infty}$ 的一些应用。本文所述结果显著扩展了关于 $\sigma$ -初等变换在 Schatten-von Neumann 范理想空间中的先前作者的结果。