随机正规矩阵硬边处圆盘计数统计的指数矩

我们考虑存在硬壁时模型 Mittag-Leffler 系综的圆盘计数统计的多元矩生成函数。令 $n$ 为点数。我们关注两种情形：(a) “硬边情形”，其中所有圆盘边界距硬壁的距离为 $\frac{1}{n}$ 量级；(b) “半硬边情形”，其中所有圆盘边界距硬壁的距离为 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 量级。当 $n \to + \infty$ 时，我们证明矩生成函数具有以下形式的渐近性：\begin{align*} & \exp \bigg(C_{1}n + C_{2}\ln n + C_{3} + \frac{C_{4}}{\sqrt{n}} + \mathcal{O}(n^{-\frac{3}{5}})\bigg), & & \mbox{对于硬边}, \\ & \exp \bigg(C_{1}n + C_{2}\sqrt{n} \hspace{0.12cm} + C_{3} + \frac{C_{4}}{\sqrt{n}} + \mathcal{O}\bigg(\frac{(\ln n)^{4}}{n}\bigg)\bigg), & & \mbox{对于半硬边}. \end{align*} 在两种情形下，我们都显式确定了常数 $C_{1},\dots,C_{4}$。我们还推导了圆盘计数函数的所有联合累积量的精确渐近公式，并建立了若干中心极限定理。令人惊讶的是，与“块内”、“软边”和“半硬边”情形相反，“硬边”情形下圆盘计数函数的二阶及更高阶累积量与 $n$ 成正比，而非与 $\sqrt{n}$ 成正比。