指数族、Kähler几何与量子力学
微分几何
2015-06-04 v1
摘要
指数族是一类特殊的统计流形，在统计推断中尤为重要，并且在统计学中非常常见。例如，具有均值{\mu}和标准差{\sigma}的正态分布集合构成一个二维指数族。在本文中，我们证明指数族的切丛自然是一个Kähler流形。这一简单但关键的观察导致了量子力学的几何形式体系，即基于复射影空间的Kähler结构，但也推广到更一般的Kähler流形，为描述量子系统提供了自然的几何框架。我们讨论了与这种“统计Kähler几何”相关的许多问题，并观察到与表示论的密切联系。详细处理了具有物理意义的例子。例如，证明了粒子的自旋可以完全通过通常的二项分布来理解。本文侧重于量子力学的数学基础，以及通过其几何表述进行潜在推广的问题。
引用
@article{arxiv.1203.2056,
title = {Exponential families, Kahler geometry and quantum mechanics},
author = {Mathieu Molitor},
journal= {arXiv preprint arXiv:1203.2056},
year = {2015}
}