熵惩罚法相关随机过程的指数相关衰减

本文给出了与熵惩罚法 (Entropy Penalized Method) 相关的平稳随机过程相关衰减的一个上界。设 $L(x, v):\Tt^n\times\Rr^n\to \Rr$ 为形式如 $L(x,v) = {1/2}|v|^2 - U(x) + < P, v>$ 的拉格朗日量。对于每个 $\epsilon$ 和 $h$ 值，考虑算子 \Gg[\phi](x):= -\epsilon h {ln}[\int_{\re^N} e ^{-\frac{hL(x,v)+\phi(x+hv)}{\epsilon h}}dv]，以及反向算子 \bar \Gg[\phi](x):= -\epsilon h {ln}[\int_{\re^N} e^{-\frac{hL(x+hv,-v)+\phi(x+hv)}{\epsilon h}}dv]，两者均作用于连续函数 $\phi:\Tt^n\to \Rr$。记 $\phi_{\epsilon,h}$ 为方程 $\Gg[\phi_{\epsilon,h}]=\phi_{\epsilon,h}+\lambda_{\epsilon,h}$ 的解，$\bar \phi_{\epsilon,h}$ 为方程 $\bar \Gg[\phi_{\epsilon,h}]=\bar \phi_{\epsilon,h}+\lambda_{\epsilon,h}$ 的解。为了分析该过程的相关衰减，我们证明了算子 ${\cal L} (\phi) (x) = \int e^{- \frac{h L (x,v)}{\epsilon}} \phi(x+h v) d v,$ 拥有一个与谱的其余部分隔离的最大特征值。