通过消亡与对称Markov过程的最大原理

Keller和Lenz[1]为正则对称Dirichlet形式($\mathcal{E},\mathcal{F}$)定义了一种概念，即在无穷远处的随机完备性（SCI）。我们展示了(SCI)可通过使用由Dirichlet形式生成的对称Markov过程$X=({\bf P}_x,X_t)$的终身寿命$\zeta$的可预测部分$\zeta^p$来概率地表述，即(SCI)等价于${\bf P}_x(\zeta=\zeta^p<\infty)=0$。我们定义了一种概念，即消亡通过消亡（EK），即${\bf P}_x(\zeta=\zeta^i<\infty)=1$。这里$\zeta^i$是$\zeta$的完全不可及部分。我们看到( EK)等价于(SCI)且${\bf P}_x(\zeta=\infty)=1$。设$X^{\rm res}$为由消亡部分从($\mathcal{E}, \mathcal{F}$)中移除后生成的“复活过程”，即由“复活形式”生成的正则Dirichlet形式。扩展Masamune和Schmidt的工作，我们展示了(EK)也等价于由$A^k_t$表示的时变过程的普通守恒属性，其中$A^k_t$是Beurling-Deny公式中消亡度量$k$在Revuz对应关系中的正连续可加函数。我们考虑Schr\"odinger型算子$\cL^\mu=\cL-\mu$的最大原理。这里$\cL$是与($\mathcal{E},\mathcal{F}$)相关联的自伴算子，$\mu$是Green-tight Kato度量。设$\lambda(\mu)$为关于$\mu$相对于($\mathcal{E},\mathcal{F}$)迹的主特征值。我们证明了如果(EK)成立，那么$\lambda(\mu)>1$意味着$\cL^\mu u=0$的每个有界解在准每个地方都是零，并且$\cL^\mu$的精细最大原理（即Berestycki-Nirenberg-Varadhan[2]中的概念）当且仅当$\lambda(\mu)>1$成立。