借助 Majorana 对称表示探索 N 能级量子系统中的弱值辐角与 Bargmann 不变量

本文考察了一般观测量的弱值辐角，并在 Bloch 球上给出了几何描述。我们借助 Majorana 对称表示来实现这一目标。一般观测量的弱值正比于一个有效投影算符的弱值：该有效投影算符由观测量作用于初态后构造，并按一个实的比例常数归一化。N 能级系统纯态上投影算符的弱值辐角对应于复射影空间 $(\text{CP}^{N-1})$ 中的一个辛面积。这一辛面积无法直接可视化，但可利用 Majorana 星表示在 Bloch 球上以 $N-1$ 个立体角之和进行几何表示。结合这两种思想，我们表明任意观测量（即不仅限于投影算符）的弱值辐角均可用 Majorana 表示描述为 Bloch 球上 $N-1$ 个立体角之和。这两种方法提供了两种几何描述：第一种在复射影空间 $\text{CP}^{N-1}$ 中，第二种在 Bloch 球上——通过 Majorana 表示将原 $N$ 维量子态空间 $(\text{CP}^{N-1})$ 映射到三维空间中的多量子比特描述后获得。这些结果也可应用于三阶 Bargmann 不变量的辐角（这是最基础的阶次，因为任意高阶不变量的辐角均可表示为若干三阶 Bargmann 不变量辐角之和），以及 Kirkwood-Dirac 准概率分布的辐角。最后，我们聚焦于一般自旋-1 算符的弱值在其模发散趋于无穷时的辐角。