解析函数高阶导数的显式实部估计

本文考虑了上半平面 ${\mathbb C}_+$ 上解析函数 $n$ 阶导数模估计中精确常数 ${\rm K}_{n, p}$ 的表示。假设函数在 $\partial{\mathbb C}_+$ 上的实部边界值属于 $L^p$。${\rm K}_{n, p}$ 的表示包含一个关于积分内部参数的优化问题。该问题在 $p=2(m+1)/(2m+1-n)$，$n\leq 2m+1$ 时，以及在 $p=\infty$ 情形下某些偶数阶低阶导数时得到了解决。例如，${\rm K}_{n,\; 2(m+1)/(2m+1-n)}$ 的公式将已知的 ${\rm K}_{2m+1, \infty}$ 和 ${\rm K}_{m, 2}$ 的表达式作为特例包含在内。此外，本文导出了 ${\rm K}_{2m, \infty}$ 的双侧估计，从而得到渐近公式 ${\rm K}_{2m, \infty}=2\big ((2m-1)!!\big )^2/\pi + O\big ( \big ((2m-1)!!\big )^2 /(2m-1)\big )$（当 $m \rightarrow \infty$ 时）。本文将 ${\rm K}_{2m, \infty}$ 的下界和上界与 $m=1, 2, 3, 4$ 情形下的值进行了比较。作为应用，本文描述了复平面子区域上解析函数高阶导数的具有显式常数的若干实部定理。